当最后一道题的最后一个符号落下，考试结束的铃声，如同终场哨声，宣告了这场长达九个小时的智力马拉松的终结。


    整个考场，瞬间从极致的寂静，切换到了劫后余生的喧嚣。


    中国队的队员们在酒店的休息区集合，每个人的脸上都写满了疲惫，眼神中却又闪烁着一丝不确定的光芒。


    “第六题……那根本不是人做的题。”罗耀龙第一个开口，声音里带着一丝虚脱，“我花了最后一个小时，连个像样的思路都没摸到。”


    “我也是，”方博苦笑着摇头，“感觉像是撞上了一堵墙，连从哪儿下手都不知道。”


    李振华教授走了过来，脸色平静，但眼神中却透着一丝不易察觉的紧张。他没有先问结果，而是先给队员们递上了水。


    “都辛苦了。”他沉声说道，“现在，大家自己心里估个分，不用太精确，给我一个大概的范围。”


    队员们开始小声地交流、核对答案。很快，一个初步的估算结果出来了。


    除了徐辰，其他五名队员，前五道题的得分率都极高，基本都在30到35分之间。但在那道地狱级的第六题上，所有人都栽了跟头，估分普遍在0到2分之间。


    所有人的目光，最后都聚焦到了徐辰身上。


    “我应该……是满分。”徐辰的回答一如既往地平静，仿佛只是在陈述一件微不足道的小事。


    这个答案，没有在队友中引起任何波澜。他们早已麻木了。


    李振华点了点头，这个结果在他的预料之中。他转身离开了一会儿，显然是去动用他的人脉，打探其他强队的情况了。


    十几分钟后，他回来了，脸色比之前更加凝重。


    “情况……不太乐观。”他看着眼前的六位队员，一字一顿地说道，“我刚和美国队的教练聊了聊，他们的估分情况，和我们非常接近。林逸轩，也声称自己做出了第六题。其他队员的情况也和我们类似。”


    他顿了顿，补充道：“也就是说，今年的团体总分第一，胜负，只在五五之数。最终的结果，可能只取决于阅卷组对第六题那道开放性极强的解法，给分的松紧程度。”


    这个消息，让所有队员的心，都再次揪了起来。


    “那……那其他队呢？”方博忍不住问道。


    李教授的脸上，突然露出了一丝古怪的、想笑又不好意思笑的表情。


    “我们的主要对手还是美国队。不过其他队我也问了，韩国队和日本队，估计平均比我们要低3到5分。”


    他清了清嗓子，“我刚才还遇到了印度队的领队，顺便问了一下他们的估分情况。”


    “他们怎么说？”众人好奇地问。


    “他们说，”李教授的嘴角，终于忍不住抽搐了一下，“他们六名队员，估分……全都是满分。”


    “噗——”


    中国队的队员们，先是一愣，随即都忍不住笑了出来。


    之前那紧张压抑的气氛，瞬间被这股来自恒河彼岸的“神秘自信”冲得烟消云散。


    ……


    IMO的正式成绩和最终排名，要等到第二天的闭幕式才会公布。


    这中间的一天，是留给各国队员自由活动的时间。


    主办方安排了去千叶市几个著名景点的旅游线路，但对于这群刚刚经历过极限脑力消耗的少年来说，古老的寺庙和宁静的园林，显然没什么吸引力。


    最终，大家还是早早地回到了酒店休息。


    ……


    夜深人静，徐辰躺在酒店柔软的床上，却毫无睡意。


    徐辰打开了系统面板，今天的第6题，确实有点东西。在完成了解答后，系统奖励了5点数学经验。


    【当前数学等级：Lv.1(40/500)】


    对于现在的徐辰来说，能够提升数学经验点的试题越来越少了。


    徐辰也总结出了一些规律，对于完全新的知识，系统会给与比较多的经验，但是重复学就不会加了。但是呢如果你想要继续深入学习，等级不够学起来又很吃力，经验涨的依旧很慢。所以，真正长经验应该还是要靠做任务。


    之前在CMO结束后解开的许康桦老师的2道悬赏试题，还能拿到5个经验点，但是现在完成差不多同等级的，连1点经验点拿不到了。


    【看来，许康桦老师那边新手村的任务，已经刷完了。】他心中暗道，【我是时候，去挑战更高级的副本了。】


    他的目光，转向了那个被他收藏已久的、界面朴素的个人博客——金陵大学，孙智伟教授的主页。


    孙智伟教授进行了一个简单的归类。


    【第一类：整数的特殊表示与组合数论】


    副本描述：研究整数能否用平方、幂、组合数等特殊形式表示。


    典型任务：“三幂五幂猜想”（任意正整数n是否可以写成 a??+b??+c??+d??+e??的形式）、“1-3-5猜想”（每个正整数能否写成三个奇数平方之和）。


    难度评级：两颗星


    占比：约10%


    第一类的猜想，大多与经典的“堆垒数论”相关，如拉格朗日四平方和定理、华林问题等。许多问题，可以利用已有的成熟理论框架进行攻击，甚至只需少量的计算即可验证。对徐辰而言，这里更像是一个“热身区”。


    ---


    【第二类区域：单位分数表示与整除性猜想】


    副本描述：主要研究正有理数是否可以用不同素数的单位分数（如 1/p或 1/p??）之和来表示，或探讨诸如∑(1/p??)的整数性与整除性。


    典型任务：任意正有理数 r能否写成不同素数的 1/p??之和。


    难度评级：三颗星


    题目数量占比：约60%


    第二类的猜想，核心在于“埃及分数”理论的推广和深化，与“解析数论”中的级数理论紧密相连。虽然大多数猜想已经在计算机上验证到数十亿甚至上万亿的范围，证明仍缺乏统一的理论，但庞大的实验数据，为研究者提供了明确的方向。


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    【第三类区域：相邻（或交错）素数的和差表示】


    副本描述：探索相邻或交错素数的加减组合能否产生任意整数。


    典型任务：在长度不超过 n的连续素数段{p??，...， p??????????}中，交错相加是否能得到任意正整数 m。


    难度评级：四颗星


    题目数量占比：约30%


    第三类猜想，已经触及到了素数分布的“局部性质”，需要高阶的“组合数论”或“概率数论”方法。虽然可以在计算机上检验大量区间，但其内在规律如同混沌中的蝴蝶，难以捕捉，需要全新的理论框架。


    ---


    【第四类区域：第n个素数 p??的数值与组合性质】


    副本描述：关注第 n个素数本身的数值特征以及它们之间的代数或整除关系。


    典型任务：对每个正整数 n，是否存在正整数 k使得 p??| p??????+ k。


    难度评级：五颗星


    题目数量占比：约30%


    第四类的猜想，直指整个数论领域最核心、最神秘的圣杯——素数的“全局规律”。每一个猜想的背后，都可能与“黎曼猜想”、“哥德巴赫猜想”这类世纪难题有着千丝万缕的联系。迄今为止，只有零星的特例得到证明，整体上仍属人类数学智慧尚未征服的前沿难题。


    ……


    他没有好高骛远，直接去挑战那些五星难度的猜想。


    他深知，饭要一口一口吃，路要一步一步走。


    他将目光，锁定在了难度最低的【第一类】问题上。


    他从中选择了一道被孙教授本人标注了“悬赏300美元”的题目，作为自己踏入这片新大陆的“第一步”。


    【猜想138：对于任何大于1的整数n，方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z必有正整数解(x， y， z)。】


    这是一个在数论领域流传已久，看似简单却异常坚固的猜想。它属于“埃及分数”的范畴，要求将一个简单的有理数，分解为三个单位分数的和。无数数学家曾尝试攻克它，但一个完整的、普适性的证明，却迟迟未能出现。


    【有意思，一个形式如此简洁的丢番图方程，竟然能成为一个悬而未决的猜想。】


    徐辰的眼中，燃起了一丝挑战的火焰。


    他铺开一张稿纸，开始了对这座未知高峰的攀登。


    【第一步，尝试小数据和特殊情况。】


    n=2: 4/2 = 2。1/1 + 1/2 + 1/2。有解。


    n=3: 4/3 = 1/1 + 1/6 + 1/6。有解。


    n=4: 4/4 = 1。1/2 + 1/3 + 1/6。有解。


    n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。有解。


    【看起来，解总是存在的。那么，证明的关键，在于构造。】


    他没有急于下结论，而是开始思考问题的核心。


    【4/n = 1/x + 1/y + 1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关系。】


    【思路的核心，应该是根据 n的性质，来构造出对应的 x， y， z。】


    突然，一道灵光闪过！


    【是 n的同余性质！特别是模4的余数！】


    一个在解决丢番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。


    【任何整数n，根据模4的余数，都可以被分为四类：4k， 4k+1， 4k+2， 4k+3。】


    【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那么问题不就解决了吗？！】


    徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生产所有零件的“模具”！


    【第一种情况：n = 4k。】


    【4/n = 4/(4k)= 1/k。】


    【1/k = 1/(2k)+ 1/(3k)+ 1/(6k)。】


    【所以，x=2k， y=3k， z=6k。搞定！这一类最简单。】


    【第二种情况：n = 4k+2 = 2(2k+1)。】


    【4/n = 4/(2(2k+1))= 2/(2k+1)。】


    【2/(2k+1)= 1/(2k+1)+ 1/(2k+1)。还差一个……】


    【1/(2k+1)= 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】


    【所以，4/n = 1/(2k+1)+ 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】


    【令 x = 2k+1， y = 2k+2， z =(2k+1)(2k+2)。搞定！】


    逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻松解决。


    但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。


    【第三种情况：n = 4k+3。】


    他尝试了各种恒等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现 k，导致解的普适性被破坏。


    【这条路，走不通。或者说，简单的恒等变换，在这里失效了。】


    他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的、找不到任何着力点的绝壁。


    他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。


    【如果，从另一个角度看呢？】


    【4/n =(4(k+1))/(n(k+1))=(4k+4)/(n(k+1))=(n+1)/(n(k+1))。】


    【4/n = 1/(k+1)+ 1/(n(k+1))。】


    【这个恒等式，是解决问题的关键！由 Mordell在1969年提出！】


    一个在数论历史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！


    【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】


    思路，瞬间豁然开朗！


    他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。


    他不再纠结于自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！


    【对于 n = 4k+3的情况：】


    【利用恒等式 4/n = 1/((n+1)/4)+ 1/(n(n+1)/4)。】


    【因为 n=4k+3，所以 n+1 = 4k+4 = 4(k+1)。】


    【(n+1)/4 = k+1，是整数！所以 1/((n+1)/4)是一个单位分数！】


    【令 x =(n+1)/4。】


    【现在，只需要将 1/(n(n+1)/4)分解成两个单位分数之和。】


    【1/A = 1/(A+1)+ 1/(A(A+1))。这是一个经典的分解！】


    【所以，x =(n+1)/4，y = n(n+1)/4 + 1，z =(n(n+1)/4)*(n(n+1)/4 + 1)。】


    【搞定！第三种情况，解决！】


    只剩下最后，也是最难的一种情况：n = 4k+1。


    他用同样的方法，将问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。


    【我到底忽略了什么……】


    他看着窗外城市的点点灯火，大脑放空。


    突然，他想起了自己最初的验算。


    n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。


    【这里的 x， y， z之间，有什么关系？】


    【如果，我能找到一个关于 n的线性同余方程组，它的解，恰好能导出 x， y， z呢？】


    【中国剩余定理！】


    一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！


    他猛地冲回桌前，心脏狂跳。


    他不再试图去“构造”一个通用的公式，而是去“证明”一个解的存在性！


    【对于 n = 4k+1的情况，我们可以找到一个整数 t，使得 t*n+1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】


    【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数 a， b，使得 an+1 = 4b。】


    【根据裴蜀定理，只要 gcd(n， 4)= gcd(4k+1， 4)= 1，这样的 a， b就必然存在！】


    【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组 a， b。】


    【然后，4/n = 4a/(an)= 4a/(4b-1)……这条路似乎更复杂了。】


    他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。


    【回归方程本身：4xyz = n(xy+yz+zx)。】


    【如果我能找到一个特殊的 x，让这个方程简化呢？】


    【设 x = k*n。代入后……不行。】


    【设 x =(n+a)/4。】


    一个大胆的设想，在他脑中形成。


    经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩余的性质，他最终将问题，锁定在了一个特定的同余方程上！


    【……最终，可以证明，对于所有素数 n≡ 1 (mod 4)，总能找到满足条件的解。而对于合数，可以通过其素因子分解来构造解。】


    当最后一个句号落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的、酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。


    这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！


    他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。


    窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正将第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。


    天，已经亮了。